Matrices especiales
Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos en este pequeño informe.
Matriz identidad
Llamaremos matriz identidad de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.
Matriz bidiagonal
Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j
Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j
Evidentemente, las matrices diagonales son triangulares superiores e inferiores a la vez.
Matrices simétrica
Una matriz A cuadrada es simétrica si su matriz traspuesta coincide con ella, es decir:
Matriz tridiagonal
Una matriz AA es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda.
Matriz traspuesta
La matriz traspuesta de una matriz AA de dimensión mxnmxn es una matriz de dimensión nxmnxm que tiene por columnas a las filas de AA. Se denota como ATAT (o A′A′ si la matriz es real).
Matriz adjunta
Sea AA una matriz de dimensión mxnmxn. Su matriz adjunta es la matriz de dimensión mxnmxn definida por Adj(A)=(adij)Adj(A)=(adij) siendo
donde Ai,jAi,j es la matriz resultante al eliminar la fila ii y columna jj de AA.
Al elemento adijadij se le llama (i,j)−(i,j)−cofactor (o adjunto) de la matriz AA.
Matriz antisimétrica
Una matriz AA es antisimétrica si es la matriz opuesta de su traspuesta, es decir, A=−ATA=−AT. Como consecuencia de la definición, la matriz AA tiene que ser cuadrada.
Matriz definida positiva
Una matriz AA de dimensión mxnmxn es definida positiva si para todo vector x=(x1,...,xn)x=(x1,...,xn) se cumple
Si se cumple con la desigualdad ≥≥, diremos que la matriz es semi definida positiva.
Matriz diagonalmente dominante
Una matriz A=(aij)A=(aij) cuadrada de dimensión nn es diagonalmente dominante por filas (RDD) si
Por ejemplo,
Una matriz A=(aij)A=(aij) cuadrada de dimensión nn es diagonalmente dominante por columnas(CDD) si
Por ejemplo,
Si se cumple con el signo estricto, diremos estrictamente diagonalmente dominante por filas o columnas. Los ejemplos son estrictamente.
Matriz Hessenberg
Una matriz cuadrada AA de dimensión n>1n>1 es Hessenberg superior si todos los elementos bajo la diagonal -1 son nulos.
Por ejemplo,
Una matriz cuadrada AA de dimensión n>1n>1 es Hessenberg inferior si todos los elementos sobre la diagonal 1 son nulos.
Por ejemplo,
Matriz Vandermonde
Una matriz cuadrada A=(aij)A=(aij) es de Vandermonde si aij=αj−1iaij=αij−1.
Si es de dimensión 3, tiene la forma
Ejemplo de una matriz Vandermonde de dimensión 4:
-Multiplicar la fila ss de AA por un escalar aa no nulo.
-Matriz de la operación: Es(a)Es(a). Es la matriz identidad pero con el escalar aaen la posición (s,s)(s,s).
-Sumar a la fila ss de AA la fila rr de AA multiplicada por un escalar aa.
-Matriz de la operación: Esr(a)Ers(a). Es la matriz identidad pero con el escalar aaen la posición (s,r)(s,r).
-Intercambiar las filas ss y rr de AA.
-Matriz de la operación: Es,rEs,r. Es la matriz identidad pero con las columnas ss y rr intercambiadas.
